Как найти экстремум - Flm-Krym.ru
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд (пока оценок нет)
Загрузка...

Как найти экстремум

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции (f'(x)).
  2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
  3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
    – если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
    – если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
    – если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Экстремум функции

Определение экстремума

Функция y = f ( x ) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1 (f (x1) f (x2) ( f (x1) > f (x2)).

Если дифференцируемая функция y = f ( x ) на отрезке [ a , b ] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ‘ ( x ) > 0

Точка x о называется точкой локального максимума (минимума) функции f ( x ), если существует окрестность точки xо , для всех точек которой верно неравенство f ( x ) ≤ f ( xо ) ( f ( x ) ≥ f ( xо )).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f ( x ), то либо f ‘ ( xо ) = 0, либо f ( xо ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x о – критическая точка. Если f ‘ ( x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f ( x ) имеет производную
f ‘ ( x ) в окрестности точки x о и вторую производную f ” (x) в самой точке xо . Если f ‘ ( x о ) = 0, f ” (x)>0 (f ” (x) xо является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ). Если же f ” (x)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [ a,b ] функция y = f ( x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [ a,b ].

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f ( x ) = 2x 3 – 15x 2 + 36x – 14.

Решение. Так как f ‘ ( x ) = 6x 2 – 30x +36 = 6( x -2)( x – 3), то критические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Задачи на нахождения экстремума функции

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy . Пусть y – это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a . Поэтому y = a – 2x и S = x ( a – 2x), где
0 ≤ x ≤ a /2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ‘ = a – 4x, a – 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a – 2 × a/4 =a/2. Поскольку x = a /4 – единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x a /4 S ‘ > 0, а при x > a /4 S ‘ x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a – a/2) = a 2 /8 ( кв . ед ). Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Читайте также:  Как пополнить счет с телефона на телефон в мтс

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2 p R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2 p (R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S ‘ (R) = 2 p (2R- 16/R 2 ) = 4 p (R- 8/R 2 ). S ‘ (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f ( x ) = 2x 3 – 15x 2 + 36x – 14.

Решение. Так как f ‘ ( x ) = 6x 2 – 30x +36 = 6( x -2)( x – 3), то критические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy . Пусть y – это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a . Поэтому y = a – 2x и S = x ( a – 2x), где
0 ≤ x ≤ a /2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ‘ = a – 4x, a – 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a – 2 × a/4 =a/2. Поскольку x = a /4 – единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x a /4 S ‘ > 0, а при x > a /4 S ‘ x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a – a/2) = a 2 /8 ( кв . ед ). Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2 p R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2 p (R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S ‘ (R) = 2 p (2R- 16/R 2 ) = 4 p (R- 8/R 2 ). S ‘ (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y = f ( x ) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y = f ( x ) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть ( a ; b ) , где х = а , х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале – π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид – π 2 ; π 2 .

Точки экстремума, экстремумы функции

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≥ f ( x ) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≤ f ( x ) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y = f ( x ) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

  • когда f ‘ ( x ) > 0 с x ∈ ( x 0 – ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой максимума;
  • когда f ‘ ( x ) 0 с x ∈ ( x 0 – ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) > 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на – , значит, точка называется максимумом;
  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на + , значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

  • найти область определения;
  • найти производную функции на этой области;
  • определить нули и точки, где функция не существует;
  • определение знака производной на интервалах;
  • выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 ( x + 1 ) 2 x – 2 .

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y ‘ = 2 x + 1 2 x – 2 ‘ = 2 · x + 1 2 ‘ · ( x – 2 ) – ( x + 1 ) 2 · ( x – 2 ) ‘ ( x – 2 ) 2 = = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) ‘ · ( x – 2 ) – ( x + 1 ) 2 · 1 ( x – 2 ) 2 = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x – 2 ) – ( x + 2 ) 2 ( x – 2 ) 2 = = 2 · ( x + 1 ) · ( x – 5 ) ( x – 2 ) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = – 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = – 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

y ‘ ( – 2 ) = 2 · ( x + 1 ) · ( x – 5 ) ( x – 2 ) 2 x = – 2 = 2 · ( – 2 + 1 ) · ( – 2 – 5 ) ( – 2 – 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал – ∞ ; – 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y ‘ ( 0 ) = 2 · ( 0 + 1 ) · 0 – 5 0 – 2 2 = 2 · – 5 4 = – 5 2 0 y ‘ ( 3 ) = 2 · ( 3 + 1 ) · ( 3 – 5 ) ( 3 – 2 ) 2 = 2 · – 8 1 = – 16 0 y ‘ ( 6 ) = 2 · ( 6 + 1 ) · ( 6 – 5 ) ( 6 – 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = – 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на – . По первому признаку имеем, что х = – 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y ( – 1 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x – 2 x = – 1 = 2 · ( – 1 + 1 ) 2 – 1 – 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y ( 5 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x – 2 x = 5 = 2 · ( 5 + 1 ) 2 5 – 2 = 24

Ответ: y m a x = y ( – 1 ) = 0 , y m i n = y ( 5 ) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x – 8 .

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

Читайте также:  Как происходит процесс кодирования от алкоголя

– 1 6 x 3 – 2 x 2 – 22 3 x – 8 , x 0 1 6 x 3 – 2 x 2 + 22 3 x – 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y ‘ = 1 6 x 3 – 2 x 2 – 22 3 x – 8 ‘ , x 0 1 6 x 3 – 2 x 2 + 22 3 x – 8 ‘ , x > 0 y ‘ = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 , x 0 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y ‘ x → 0 – 0 = lim y x → 0 – 0 – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 = – 1 2 · ( 0 – 0 ) 2 – 4 · ( 0 – 0 ) – 22 3 = – 22 3 lim y ‘ x → 0 + 0 = lim y x → 0 – 0 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 = 1 2 · ( 0 + 0 ) 2 – 4 · ( 0 + 0 ) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 – 0 = lim x → 0 – 0 – 1 6 x 3 – 2 x 2 – 22 3 x – 8 = = – 1 6 · ( 0 – 0 ) 3 – 2 · ( 0 – 0 ) 2 – 22 3 · ( 0 – 0 ) – 8 = – 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 – 0 1 6 x 3 – 2 x 2 + 22 3 x – 8 = = 1 6 · ( 0 + 0 ) 3 – 2 · ( 0 + 0 ) 2 + 22 3 · ( 0 + 0 ) – 8 = – 8 y ( 0 ) = 1 6 x 3 – 2 x 2 + 22 3 x – 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 – 2 · 0 2 + 22 3 · 0 – 8 = – 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

– 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 , x 0 D = ( – 4 ) 2 – 4 · – 1 2 · – 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · – 1 2 = – 4 – 2 3 3 0 x 2 = 4 – 4 3 2 · – 1 2 = – 4 + 2 3 3 0

1 2 x 2 – 4 x + 22 3 , x > 0 D = ( – 4 ) 2 – 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 – 4 3 2 · 1 2 = 4 – 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = – 6 , x = – 4 , x = – 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y ‘ ( – 6 ) = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 x = – 6 = – 1 2 · – 6 2 – 4 · ( – 6 ) – 22 3 = – 4 3 0 y ‘ ( – 4 ) = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 x = – 4 = – 1 2 · ( – 4 ) 2 – 4 · ( – 4 ) – 22 3 = 2 3 > 0 y ‘ ( – 1 ) = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3 x = – 1 = – 1 2 · ( – 1 ) 2 – 4 · ( – 1 ) – 22 3 = 23 6 0 y ‘ ( 1 ) = 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 – 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y ‘ ( 4 ) = 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 – 4 · 4 + 22 3 = – 2 3 0 y ‘ ( 6 ) = 1 2 x 2 – 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 – 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = – 4 – 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = – 4 + 2 3 3 , x = 4 – 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y – 4 – 2 3 3 = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = – 4 – 2 3 3 = – 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = 0 = – 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = 4 + 2 3 3 = – 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y – 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = – 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 – 2 3 3 = 1 6 x 3 – 2 2 + 22 3 x – 8 x = 4 – 2 3 3 = 8 27 3

y m i n = y – 4 – 2 3 3 = – 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = – 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = – 8 27 3 y m a x = y – 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 – 2 3 3 = 8 27 3

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f ‘ ( x 0 ) = 0 , тогда при ее f ” ( x 0 ) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f ” ( x 0 ) 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Для начала находим область определения. Получаем, что

D ( y ) : x ≥ 0 x ≠ – 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y ‘ = 8 x x + 1 ‘ = 8 · x ‘ · ( x + 1 ) – x · ( x + 1 ) ‘ ( x + 1 ) 2 = = 8 · 1 2 x · ( x + 1 ) – x · 1 ( x + 1 ) 2 = 4 · x + 1 – 2 x ( x + 1 ) 2 · x = 4 · – x + 1 ( x + 1 ) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y ” = 4 · – x + 1 ( x + 1 ) 2 · x ‘ = = 4 · ( – x + 1 ) ‘ · ( x + 1 ) 2 · x – ( – x + 1 ) · x + 1 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · ( – 1 ) · ( x + 1 ) 2 · x – ( – x + 1 ) · x + 1 2 ‘ · x + ( x + 1 ) 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · – ( x + 1 ) 2 x – ( – x + 1 ) · 2 x + 1 ( x + 1 ) ‘ x + ( x + 1 ) 2 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = – ( x + 1 ) 2 x – ( – x + 1 ) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = 2 · 3 x 2 – 6 x – 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y ” ( 1 ) = 2 · 3 · 1 2 – 6 · 1 – 1 ( 1 + 1 ) 3 · ( 1 ) 3 = 2 · – 4 8 = – 1 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y ( 1 ) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Ответ: y m a x = y ( 1 ) = 4 ..

Третье достаточное условие экстремума

Функция y = f ( x ) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f ‘ ( x 0 ) = f ” ( x 0 ) = f ‘ ‘ ‘ ( x 0 ) = . . . = f n ( x 0 ) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f ( n + 1 ) ( x 0 ) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f ( n + 1 ) ( x 0 ) 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 ( x + 1 ) 3 ( x – 3 ) 4 .

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y ‘ = 1 16 x + 1 3 ‘ ( x – 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 x – 3 4 ‘ = = 1 16 ( 3 ( x + 1 ) 2 ( x – 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 4 ( x – 3 ) 3 ) = = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x – 3 ) 3 ( 3 x – 9 + 4 x + 4 ) = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x – 3 ) 3 ( 7 x – 5 )

Данная производная обратится в ноль при x 1 = – 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y ” = 1 16 x + 1 2 ( x – 3 ) 3 ( 7 x – 5 ) ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x – 3 ) 2 ( 21 x 2 – 30 x – 3 ) y ” ( – 1 ) = 0 y ” 5 7 = – 36864 2401 0 y ” ( 3 ) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f ( n + 1 ) 5 7 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = – 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y ‘ ‘ ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x – 3 ) 2 ( 21 x 2 – 30 x – 3 ) ‘ = = 1 8 ( x – 3 ) ( 105 x 3 – 225 x 2 – 45 x + 93 ) y ‘ ‘ ‘ ( – 1 ) = 96 ≠ 0 y ‘ ‘ ‘ ( 3 ) = 0

Значит, x 1 = – 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f ( n + 1 ) ( – 1 ) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y ( 4 ) = 1 8 ( x – 3 ) ( 105 x 3 – 225 x 2 – 45 x + 93 ) ‘ = = 1 2 ( 105 x 3 – 405 x 2 + 315 x + 57 ) y ( 4 ) ( 3 ) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 – точкой минимума заданной функции.

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции (f'(x)).
  2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
  3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
    – если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
    – если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
    – если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.
Читайте также:  Какой гигрометр лучше — механический или электронный?

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Как найти экстремум

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке.

Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум. Аналогично для точки x4.

Функция y=f(x) в точке x имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x, т.е. если существует такая окрестность точки x, что для всех xx, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) f(x.

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) 0.

Функция не имеет производной при x=0, так как обращается в бесконечность приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

Функция не имеет производной при x=0, так как при x→0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x 0f(x)>0.

Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x мы знаем, что f ‘(x)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x функция имеет экстремум.

Например. .

Но точка x=0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox, а справа выше.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x функция имеет максимум. Если же при переходе через x слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

  1. f ‘(x)>0 при x x, то x – точка максимума;
  2. при x0 при x> x, то x – точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x f ‘(x)>0 для x x. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) – f(x) = f ‘(c)(x- x), где c лежит между x и x.

Тогда слева от точки x1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x2 и x3.


Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

  1. Найти область определения функции f(x).
  2. Найти первую производную функции f ‘(x).
  3. Определить критические точки, для этого:
    1. найти действительные корни уравнения f ‘(x)=0;
    2. найти все значения x при которых производная f ‘(x) не существует.
  4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
  5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.

    . Область определения функции D(y)=R.

Найдем производную заданной функции

Определим критические точки . Производная не существует при х2= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

  1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.
  2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.
  3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

    Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5].

Найдем критические точки функции.

Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.

Итак,

Найти наибольшее и наименьшее значения функцииy=x-2·ln x на [1; e].

По теореме Пифагора

.

Следовательно, .

.

Найдем критические точки функции S: S‘ = 0, т.е.

Покажем, что при найденном значении h функция Sбок достигает минимума.

.

Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.

Нам нужно максимизировать объем цилиндра .

Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что . Отсюда .

, по смыслу задачи 0≤h≤2R.

.

Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector