Как найти площадь боковой поверхности пирамиды

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды

Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A₁A₂ . A_n , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .

Определение 1. Пирамидой ( n — угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 1) .

Точку S называют вершиной пирамиды.

Точки A₁ , A₂ , . , A_n , S часто называют просто вершинами пирамиды.

Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

Доказательство. Заметим, что у n — угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n — угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Замечание 2. Если центр основания A₁A₂ . A_n правильной пирамиды SA₁A₂ . A_n обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .

Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .

На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SA_nA_n-1 и отрезок SC – апофема грани SA₂A₁ .

Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

Свойства правильной пирамиды:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

,

.

По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

Ответ.

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды :

,

Пирамида	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Произвольная пирамида
Правильная n – угольная пирамида
Правильный тетраэдр

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

,

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Как найти площадь боковой поверхности пирамиды: формулы, пример задачи

В школьном курсе стереометрии изучают свойства разных пространственных фигур. Одной из них является пирамида. Данная статья посвящена вопросу о том, как найти у пирамиды площадь боковой поверхности. Также раскрывается вопрос определения этой площади для усеченной пирамиды.

Что такое пирамида?

Многие, услышав слово «пирамида», сразу представляют грандиозные сооружения Древнего Египта. Действительно, гробницы Хеопса и Хефрена являются правильными четырехугольными пирамидами. Тем не менее пирамидой также является тетраэдр, фигуры с пяти-, шести-, n-угольным основанием.

Вам будет интересно: Passive Voice: упражнения с ответами, таблица

В геометрии понятие пирамиды определено четко. Под этой фигурой понимают объект в пространстве, который образуется в результате соединения некоторой точки с углами плоского n-угольника, где n — целое число. Ниже рисунок показывает четыре пирамиды с разным количеством углов в основании.

Точка, с которой соединены все вершины углов основания, не лежит в его плоскости. Она называется вершиной пирамиды. Если из нее провести к основанию перпендикуляр, то мы получим высоту. Фигура, в которой высота пересекает основание в геометрическом центре, получила название прямой. Иногда прямая пирамида имеет правильное основание, например квадрат, равносторонний треугольник и так далее. В этом случае она называется правильной.

При вычислении у пирамиды площади боковой поверхности удобно работать с правильными фигурами.

Площадь поверхности боковой фигуры

Как найти у пирамиды площадь боковой поверхности? Можно понять это, если ввести соответствующее определение и рассмотреть развертку на плоскости для этой фигуры.

Любая пирамида образована гранями, которые друг от друга отделены ребрами. Основание — это грань, образованная n-угольником. Все остальные грани представляют собой треугольники. Их n штук, и они все вместе образуют боковую поверхность фигуры.

Если вдоль бокового ребра разрезать поверхность и развернуть ее на плоскости, то получится развертка пирамиды. Для примера ниже показана развертка шестиугольной пирамиды.

Видно, что боковая поверхность образована шестью одинаковыми треугольниками.

Теперь не трудно догадаться, как у пирамиды найти площадь боковой поверхности. Для этого следует сложить площади всех треугольников. В случае n-угольной правильной пирамиды, сторона основания которой равна a, для рассматриваемой поверхности можно записать формулу:

Здесь hb — это апофема пирамиды. То есть высота треугольника, опущенная из вершины фигуры на сторону основания. Если апофема неизвестна, то ее можно рассчитать, зная параметры n-угольника и значение высоты h фигуры.

Усеченная пирамида и ее поверхность

Как можно догадаться из названия, усеченную пирамиду можно получить из обычной фигуры. Для этого нужно отсечь плоскостью, параллельной основанию, вершину. Ниже рисунок демонстрирует этот процесс для шестиугольной фигуры.

Ее боковая поверхность представляет собой сумму площадей одинаковых равнобедренных трапеций. Формула для площади боковой поверхности усеченной пирамиды (правильной) имеет вид:

Здесь hb — апофема фигуры, которая является высотой трапеции. Величины a1 и a2 — это длины оснований сторон.

Расчет боковой поверхности для треугольной пирамиды

Покажем, как найти площадь боковой поверхности пирамиды. Допустим, у нас правильная треугольная, разберемся на примере конкретной задачи. Известно, что сторона основания, представляющего собой равносторонний треугольник, равна 10 см. Высота фигуры равна 15 см.

Развертка этой пирамиды показана на рисунке. Чтобы воспользоваться формулой для Sb, необходимо сначала найти апофему hb. Рассматривая прямоугольный треугольник внутри пирамиды, построенный на сторонах hb и h, равенство можно записать следующее:

Подставляем данные и получаем, что hb≈15,275 см.

Теперь можно воспользоваться формулой для Sb:

Sb = n*a*hb/2 = 3*10*15,275/2 = 229,125 см2

Заметим, что основание треугольной пирамиды, как и ее боковая грань, образовано треугольником. Тем не менее этот треугольник при вычислении площади Sb не учитывается.

Найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Задача 1. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов.
Найти площадь полной поверхности пирамиды

Решение.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.
Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника:

Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откуда площадь основания будет равна:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 ( 6 / √3 ) 2
S = 3√3

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогда
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 (6 / √3 ) (2/√2) = 6/√6

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности.
(Это следует из свойств правильной пирамиды)

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника найдем из его свойств

Откуда длина ребер правильной треугольной пирамиды будет равна:
AM 2 = MO 2 + AO 2
высота пирамиды известна по условию (10 см), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Каждая из сторон пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника найдем из первой формулы, представленной ниже

S = 1/2 * 16 sqrt( (√(556/3) + 8) (√(556/3) — 8) )
S = 8 sqrt( (556/3) — 64 )
S = 8 sqrt( 364/3 )
S = 16 sqrt( 91/3 )

Поскольку все три грани у правильной пирамиды равны, то площадь боковой поверхности будет равна
3S = 48 √(91/3)

Задача 3. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна

So = 9 * √3/4

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности.

Тогда (по таблице соотношений в правильном треугольнике)
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 3 = √3/2

Тогда
OK / MK = √2/2
√3/2 / MK = √2/2
MK = √3/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 * 3√( 3/2 )

Откуда площадь полной поверхности будет равна
S = 9√3/4 + 3/2 √( 3/2 )

Площадь пирамиды — определение, свойства и формулы

Описание фигуры

С древнегреческого языка пирамида переводится, как многогранник с несколькими гранями — боковыми и основанием. Первые имеют вид треугольников с одной вершиной. С учётом количества углов фигура делится на треугольную (тетраэдр), четырёхугольную, пятиугольную, шестиугольную, n-угольную. Элементы многогранника:

1. Апофема или высота. Проводится из вершины боковой грани (БГ).
2. БГ. Формируют треугольники с одной вершиной.
3. Боковые рёбра (БР). Являются общими сторонами БГ.
4. Вершина или точка. Соединяет БР, не принадлежит плоскости, в которой находится основание.
5. Высота или часть перпендикуляра. Элемент проведён через вершину к основанию. Чтобы найти высоту, измеряется отрезок между вершинами и нижней стороной фигуры.
6. Диагональное сечение. Пересекает диагональ и вершину нижней части фигуры.
7. Основание либо многоугольник. На данной поверхности не лежат вершины.

Развертка — плоская фигура, образованная путём совмещения поверхности тела с плоскостью. Грани и другие элементы не накладываются друг на друга. Развёртка поверхности похожа на гибкую плёнку. По факту, это пятиугольная пирамида с равными сторонами и углами. В плоскости она напоминает звезду.

Свойства и теоремы

Для фигуры характерны некоторые свойства. БР одинаковы, если нижняя сторона вписывается в сферу либо окружность так, что вершина приходится на центр. Другие особенности фигуры:

1. Боковые рёбра и плоскость нижней стороны формируют равные углы.
2. Если БР образуют с плоскостью одинаковые углы либо вблизи основания описывается окружность с вершиной в её центре, тогда все БР одинаковые.
3. Если грани наклонены к плоскости основания под определённым углом, тогда площадь боковой поверхности (БП) пирамиды равна ½ произведения периметра нижней стороны на высоту грани.

При решении задач на сайтах онлайн либо из учебников по геометрии используются теоремы, которые связывают пирамиду с иными телами.

Для расчета нужной величины применяется калькулятор, подходящая формула, свойства многогранников. Учёные доказали, что вокруг пирамиды можно описать сферу, если в основании находится многоугольник с окружностью.

Центр сферы — точка, в которой пересекаются плоскости, проходящие через центральную часть ребер. Из теоремы вытекает, что около прямоугольной, квадратной и правильной пирамиды возможно описать сферу. В фигуру вписывается сфера, если биссекторные плоскости двугранных внутренних углов пересекаются в единой точке. Согласно другой теореме, конус вписан в пирамиду, если их вершины совпадают. Основание фигур и апофемы совпадают. Конус описывается вокруг пирамиды, если БР последней фигуры одинаковые.

Цилиндр находится внутри многоугольника, если любое его основание совмещено с окружностью. Цилиндр описан около пирамиды, если вершина последней фигуры находится на одном из его оснований. Другая его нижняя часть описана внизу пирамиды. Подобное действие возможно, если в основании пирамиды вписан многоугольник.

Для правильной пирамиды (нижняя сторона представлена в виде правильного многоугольника с вершиной в центре) характерны некоторые свойства: равенство БР, гранями являются равнобедренные конгруэнтные (равные) треугольники, внутрь и вокруг легко описывается и вписывается сфера. В последнем случае, когда центры сфер совпадают, сумма плоских углов равняется числу пи, а каждый — π/n, где n — количество сторон фигуры в основании.

Пирамида считается прямоугольной, если одно БР перпендикулярно нижней стороне. В таком случае ребро является высотой. В тетраэдре либо треугольной пирамиде любая грань принимается в качестве основания.

Практические задания

На ЕГЭ выпускники решают задачи с объёмом и площадью куба, правильного многоугольника. Фигуры размещены на плоскости либо в системе координат. Основные формулы, которые применяются для вычисления показателей:

1. Площадь (S) пирамиды с четырьмя углами и сторонами. Для её расчета потребуется суммировать площади нижних сторон (квадрат и 4 треугольника).
2. Общая S: S основания+S боковой поверхности.
3. Площадь боковой поверхности пирамиды: S бок. пов.=½Pосн.d.
4. Площадь полной поверхности пирамиды. Для её вычисления понадобится суммировать площади БП и основания.
5. Площадь усеченной пирамиды: S1+S2+Sбок, где первые два показателя характерны для оснований, в последний для боковой поверхности.
6. Объём пирамиды: V=1/3Sосн.H.

Задача 1. Дан четырёхугольный многогранник с равными сторонами в 72 и боковыми ребрами — по 164. Нужно найти площадь четырехугольной пирамиды.

Решение: Так как S=Sбок+Sосн, подставив данные в формулу, получается 4S+a ². Так как Sбок состоит из 4-х одинаковых по площади треугольников, а основание представлено в виде квадрата, поэтому для нахождения площади Sбок используется формула Герона: S=√p (p-a)(p-b)(p-c).

Для вычисления полупериметра потребуется (a+b+c)/2. В формулу поставляются данные. Выходит, что P=(72+164+164)/2=200. Тогда S=√200 (200−72)(200−164)(200−164)=√200х128х36х36=√100х256х36х36=10х16х6х6х=5760. Подставив данные в формулу, находится площадь: S=4х5760+72х72=28224.

Задача 2. Стороны нижней части в шестиугольном многоугольнике равняются 22, а ребра — 61. Нужно найти Sбок. пов.

Решение: Основание фигуры представлено в форме шестиугольника с одинаковыми сторонами. Его площадь соответствует площади шести треугольников. Их стороны равны 61, 61 и 22. Величина вычисляется по формуле S=6S. Чтобы найти S, применяется формула Герона: S=√p (p-a)(p-b)(p-c). Полупериметр равен (a+b+c)/2.

Р=(61+61+22)/2=72. S=√72 (72−61)(72−61)(72−22)=√72х9х9х50=√36х2х9х9х2х25=540.

Данные, подставив в Sбок. пов., приведут к результату 3240. В задаче 1 и 2 можно вычислить площадь через апофему.

Задача 3. Необходимо определить S пов. прав. четырёхугольной пирамиды, когда стороны основания равняются 6, а высота — 4.

Решение: Для определения S вычисляются площади БП и основания. Используется формула Sбок +S осн=4S+ a ². S осн равняется 36, так как оно представлено в виде квадрата со сторонами в 6. БП состоит из 4-х граней либо равных треугольников. Для нахождения площади вычисляется основание и высота фигуры:

Площадь фигуры соответствует половине произведения апофемы и основания. Первый элемент проведён ко второму. Так как известно, что основание равно 6, поэтому находится высота. Если начертить и рассмотреть треугольник, можно заметить, что катет равен 4. Он же является высотой пирамиды. Значение второго катета — 3 (он соответствует ½ ребра основания).

Для вычисления гипотенузы используется теорема Пифагора:

Площадь БП вычисляется следующим образом:

При решении задач рекомендуется ориентироваться на чертеж, использовать общепринятые теоремы и свойства фигур. Для наглядности фигура размещается в плоскости в нескольких проекциях. В старших классах, чтобы найти объём либо площадь, многогранники отображаются с помощью координат, функций косинуса и синуса.

Последние переменные используются, чтобы найти значение углов, как острых, так и тупых. Через полученное число и дополнительные формулы, аксиомы вычисляется площадь разных составных элементов фигуры.

Как вычислить площадь пирамиды: основания, боковую и полную?

При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.

Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» — снова сторона:

Произвольный правильный n-угольник

У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

S = (n * а 2 ) / (4 * tg (180º/n)).

Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?

Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение — «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:

S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.

Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:

S = n/2 * в 2 sin α.

Задача № 1

Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит равносторонний треугольник со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.

Решение. Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .

Для треугольника в основании получится такое значение площади: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2 .

Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .

Задача № 2

Условие. Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.

Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.

Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм 2 . Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2 ) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.

Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм 2 .

Ответ. Искомое значение 267,576 мм 2 .

Задача № 3

Условие. У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.

Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.

Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть прямоугольный треугольник. Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.

Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(3 2 + 4 2 ) = 5 (см).

Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2 ).

Задача № 4

Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?

Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.

Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*22 2 ) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .

Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.

Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2 )=√435600=660 см 2 . Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см 2 . Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см 2 .

Ответ. Основания — 726√3 см 2 , боковой поверхности — 3960 см 2 , вся площадь — 5217 см 2 .