Как проверить функцию на четность и нечетность - Flm-Krym.ru
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд (пока оценок нет)
Загрузка...

Как проверить функцию на четность и нечетность

Определения и свойства четных и нечетных функций

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Определение 1: Функция Определение 2: Функция 1. 2. 3. 4. Определение 3: Функцию

2.

Из определения вытекает важное свойство четной функции:

График четной функции симметричен относительно оси y (Рис. 1).

Дадим развернутое определение нечетной функции.

Определение 4: Функцию 1. Область определения симметрична относительно нуля, т.е.

2.

Из определения нечетной функции вытекает свойство: График нечетной функции симметричен относительно т. (0; 0) (Рис. 2).

Если функция не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.

Примеры

Пример 1. Определите вид функции

четная функция, ее график симметричен относительно оси y.

Пример 2. Определите вид функции

В точке Пример 3.Определите вид функции

Обе точки выколотые, график и область определения симметричны относительно начала координат, функция четная.

Пример 4. Определите вид функции

рафик и область определения симметричны относительно начала координат, функция нечетная.

Пример 5. Определите вид функции

В точке с абсциссой 2 функция не существует, в точке с абсциссой -2 существует. Область определения несимметрична относительно нуля, это функция общего вида.

Пример 6. Определите вид функции

Область определения симметрична относительно нуля, функция нечетная.

Примеры на исследование функции

Рассмотрим примеры на свойства четных и нечетных функций.

Пример 7: Исследовать на четность функцию

,функция четная.

Возведем в квадрат обе части равенства. Тогда вместо уравнения получим систему:

Второе уравнение полученной системы – уравнение окружности с центром в т.(0; 0) радиусом 4. Но т.к.

График симметричен относительно оси y, поэтому функция четная.

Ответ: Функция четная.

Пример 8. Известно, что функция Нам известно, что функция убывает на луче График четной функции симметричен относительно оси y, т.е. функция возрастает на луче

В качестве примера изобразим график функции (Рис. 10).

Ответ: Функция возрастает при

Пример 9. Дана функция Задайте Если функция четная, ее график симметричен относительно оси y, т.е. (Рис. 11).

Если функция нечетная, ее график симметричен относительно т. (0; 0), т.е. (Рис. 12).

Заключение, вывод

Мы рассмотрели определения и свойства четных и нечетных функций, решили некоторые типовые задачи На следующем уроке мы продолжим изучение свойств четных и нечетных функций.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 275 – 278.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Чётность и нечётность функций

Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то найти и сравнить с

Если то функция — четная.
Если , то функция нечетная.

Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.

1. Определить, является ли четной функция: .

Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится:

– функция четна.

Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.

Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.

2. Определить, является ли четной функция: .

Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:

=0><<1-x+x^2>>=0>>><>” title=”delim<1><<< x^2+x+1>>=0><<1-x+x^2>>=0>>><>”/>

Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.
Теперь подставим вместо x – (-x): – данная функция нечетна.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

3. Определить, является ли четной функция: .

Область определения может быть найдена из системы неравенств:

0><<1-x><>0>>><>” title=”delim<1><<</<1-x>>>0><<1-x><>0>>><>”/>

Таким образом, область определения симметрична, и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

Подставляем (-х) вместо х:

– исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

4. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетна.

5. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

6. Определить, является ли четной функция: .

Читайте также:  Как узнать, сломано ли ребро

Область определения – вся числовая ось – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

7. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетная.

Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

Сумма двух нечётных функций – нечётна.

Сумма двух чётных функций – чётна.

А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

Определим четность этих функций по отдельности.

– функция нечетная.

– функция нечетная.

8. Исследуем теперь такую функцию:

Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

Область определения функции симметрична, функция нечётна, так как . Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

9. Наконец, последняя:

– имеем произведение двух функций.

Произведение или частное двух нечётных функций чётно.

Произведение или частное двух чётных функций чётно.

Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

– функция четная.

Четные и нечетные функции

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

  • сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
  • развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
  • воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:

1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2. Проверка домашнего задания

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х)

Функция

Область определения

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

3. Актуализация знаний

– Даны функции.
– Указать область определения для каждой функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

D (f)

2 и 2

+

1 и 1

8 и – 8

1 и – 1

2 и 2

+

– 1 и – 5

1 и – 7

6 и – 6

3 и – 3

и 0

и не опред.

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

Опр. 1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.

Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?
Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
Для любой функции вида у = х n , где n – целое число можно утверждать, что функция нечётна при n – нечётном и функция чётна при n – чётном.
– Функции вида у = и у = 2х – 3 не являются ни чётным , ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях 1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая?
– Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f(– х).

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х 5 +; б) у = ; в) у= .

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + – х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х 5 + нечётная.

б) у = ,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.

2)f (– х) == ;

3) f (– х) = f (х) => функция f(х) = чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

Вывод:

  1. График чётной функции симметричен относительно оси у.
  2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

– Верны ли обратные утверждения?

  1. Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
  2. Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

– Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать
свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место

5. Первичное закрепление

Самостоятельная работа

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–7;7]; б) (∞; –2), (–4; 4]?

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

Заполните таблицу
Координаты точек пересечения графика с Оу
f(1) и f(– 1)f(2) и f(– 2)графикиf(– х) = –f(х)f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
4. f(х) = 2х – 3
5. f(х) =
6. f(х)=х > –1
2. Исследуйте на чётность функцию:
а); б) у = х· (5 – х 2 ).
2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у = х 2 · (2х – х 3 ), б) у =

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – чётная функция.

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х ? 0.
Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – нечётная функция.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(х) = х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х) = при х = 3.

Четность и нечетность функций

Урок 41. Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс

Конспект урока “Четность и нечетность функций”

· повторить такое свойство функции, как чётность и нечётность.

Прежде давайте вспомним свойства функций, о которых мы уже говорили. Это: область определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции.

Для того чтобы мы могли говорить о чётности, еще раз давайте повторим, что мы понимаем под областью определения функции.

Область определения функции – это все значения, которые может принимать аргумент.

Теперь вспомним, что

Теперь давайте разберёмся с этим определением по подробней. Первым условием является то, что область определения функции должна быть симметрична относительно икс равного нулю. Что это значит? Это значит, что если число А принадлежит области определения, то и число минус А тоже принадлежит области определения этой функции.

Второе условие чётности говорит о том, что:

Если посмотреть на график чётной функции, то можно увидеть, что он будет симметричен относительно оси ординат.

Если же нарушается первое условие, то есть область определения функции – не симметричное относительно x = 0 множество, то такая функция не обладает свойством чётности.

Теперь давайте вспомним какую функцию называют нечётной.

Если мы посмотрим на график нечётной функции, то нетрудно увидеть, что он симметричен относительно начала координат.

Мы с вами уже рассмотрели некоторые элементарные функции, их свойства и графики. А теперь давайте попробуем определить какие из этих функций являются чётными, нечётными, ни чётными, ни нечётными.

Итак, начнём с прямой пропорциональности. Область определения прямой пропорциональности – вся числовая прямая, то есть говорить о чётности или нечётности, мы можем. Подставим вместо х -x и получим, что y(-x) = –y(x), то есть прямая пропорциональность – нечётная функция.

Если мы посмотрим на графики прямой пропорциональности, то увидим, что эти графики симметричны относительно начала координат.

Теперь давайте рассмотрим обратную пропорциональность.

Область определения этой функции – симметричная относительно x = 0 область, то есть говорить о чётности или нечётности этой функции можно.

Подставим вместо х и получим, что y(-x) = –y(x), то есть обратная пропорциональность – нечётная функция.

Следующей мы рассмотрим линейную функцию.

Область определения функции – вся числовая прямая, то есть область определения – симметричное множество. Подставим вместо х -х, тогда получим что:

То есть линейная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим функцию y = │x│.

Область определения этой функции – вся числовая прямая. То есть можно проверить эту функцию на чётность и нечётность. Подставим вместо х -х. По свойству модуля:

Тогда получим, что функция игрек равно модуль икс – чётная функция.

Теперь поговорим о функции у = х 2 .

Область определения – вся числовая прямая.

Подставим вместо х -х. По свойству квадрата выражения, получим, что:

то есть функция чётная.

Рассмотрим квадратичную функцию.

Область определения – вся числовая прямая.

Подставим вместо х -х и получим, что:

то есть квадратичная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Теперь давайте рассмотрим функцию:

Область определения функции – промежуток [0; + ∞) – это не симметричное относительно точки x = 0 множество, то есть мы сразу можем написать, что о чётности или нечётности этой функции говорить нельзя.

Теперь давайте рассмотрим функцию y = x 3 . Область определения – вся числовая прямая. Подставим вместо x x и получим, что:

то есть перед нами нечётная функция.

Теперь давайте решим несколько заданий.

Рассмотрим ещё один пример.

Сегодня на уроке мы повторили такое свойство функций как чётность. Вспомнили какая функция называется чётной, а какая – нечётной.

Четные и нечетные функции

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется четной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=f(x)) .

График четной функции симметричен относительно оси (y) :

Пример: функция (f(x)=x^2+cos x) является четной, т.к. (f(-x)=(-x)^2+cos<(-x)>=x^2+cos x=f(x)) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется нечетной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=-f(x)) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

Пример: функция (f(x)=x^3+x) является нечетной, т.к. (f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)) .

(blacktriangleright) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Например, функция (f(x)=x^2-x) является суммой четной функции (f_1=x^2) и нечетной (f_2=-x) .

(blacktriangleright) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

5) Если (f(x)) — четная функция, то уравнение (f(x)=c (cin mathbb) ) имеет единственный корень тогда и только когда, когда (x=0) .

6) Если (f(x)) — четная или нечетная функция, и уравнение (f(x)=0) имеет корень (x=b) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень (x=-b) .

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется периодической на (X) , если для некоторого числа (Tne 0) выполнено (f(x)=f(x+T)) , где (x, x+Tin X) . Наименьшее (T) , для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

У периодической функции любое число вида (nT) , где (nin mathbb) также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций (f(x)=sin x) и (f(x)=cos x) главный период равен (2pi) , у функций (f(x)=mathrm,x) и (f(x)=mathrm,x) главный период равен (pi) .

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной (T) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

(blacktriangleright) Область определения (D(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений аргумента (x) , при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции (f(x)=sqrt x+1) область определения: (xin [0;+infty)) .

(blacktriangleright) Область значений (E(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений функции (f(a)) , где (ain D(f)) .

Пример: у функции (f(x)=sqrt x +1) область значений: (f(x)in [1;+infty)) .

(blacktriangleright) Уравнение (f(x)=a) имеет решение тогда и только тогда, когда (a) принадлежит области значений функции (f(x)) , т.е. (ain E(f)) .

(blacktriangleright) Если область значений функции (f(x)) не превышает некоторого числа (A) , т.е. (f(x)leq A) при всех (xin D(f)) , а функция (g(x)geq A) при всех (xin D(g)) , то уравнение [> Leftrightarrow begin f(x)=A\g(x)=Aend]

При каких значениях параметра (a) уравнение

имеет единственное решение?

Заметим, что так как (x^2) и (cos x) — четные функции, то если уравнение будет иметь корень (x_0) , оно также будет иметь и корень (-x_0) .
Действительно, пусть (x_0) – корень, то есть равенство (2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) верно. Подставим (-x_0) : (2 (-x_0)^2+amathrm,(cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+amathrm,(cos x_0)+a^2=0) .

Таким образом, если (x_0ne 0) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, (x_0=0) . Тогда:

[2cdot 0+amathrm,(cos 0)+a^2=0 quad Rightarrow quad a^2+amathrm,1=0 quad Rightarrow quad left[ beginbegin &a=0\ &a=-mathrm,1 end endright.]

Мы получили два значения параметра (a) . Заметим, что мы использовали то, что (x=0) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра (a) в исходное уравнение и проверить, при каких именно (a) корень (x=0) действительно будет единственным.

1) Если (a=0) , то уравнение примет вид (2x^2=0) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень (x=0) . Следовательно, значение (a=0) нам подходит.

2) Если (a=-mathrm,1) , то уравнение примет вид [2x^2-mathrm,1cdot mathrm,(cos x)+mathrm^2,1=0] Перепишем уравнение в виде [2x^2+mathrm^2,1=mathrm,1cdot mathrm,(cos x)qquad (*)] Так как (-1leqslant cos xleqslant 1) , то (-mathrm,1leqslant mathrm,(cos x)leqslant mathrm,1) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку ([-mathrm^2,1; mathrm^2,1]) .

Так как (x^2geqslant 0) , то левая часть уравнения (*) больше или равна (0+ mathrm^2,1) .

Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны (mathrm^2,1) . А это значит, что [begin 2x^2+mathrm^2,1=mathrm^2,1 \ mathrm,1cdot mathrm,(cos x)=mathrm^2,1 end quadLeftrightarrowquad begin x=0\ mathrm,(cos x)=mathrm,1 endquadLeftrightarrowquad x=0] Следовательно, значение (a=-mathrm,1) нам подходит.

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых график функции [f(x)=3mathrm,dfrac5 +2sin dfrac<8pi a-3x>4]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено (f(-x)=-f(x)) для любого (x) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено (f(-x)=-f(x).)

[begin &3mathrm,left(-dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right)quad Rightarrowquad -3mathrm,dfrac5+2sin dfrac<8pi a+3x>4= -left(3mathrm,left(dfrac5right)+2sin dfrac<8pi a-3x>4right) quad Rightarrow\[3ex] Rightarrowquad &sin dfrac<8pi a+3x>4+sin dfrac<8pi a-3x>4=0 quad Rightarrow quad2sin dfrac12left(dfrac<8pi a+3x>4+dfrac<8pi a-3x>4right)cdot cos dfrac12 left(dfrac<8pi a+3x>4-dfrac<8pi a-3x>4right)=0 quad Rightarrowquad sin (2pi a)cdot cos frac34 x=0 end]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех (x) из области определения (f(x)) , следовательно, (sin(2pi a)=0 Rightarrow a=dfrac n2, ninmathbb) .

(dfrac n2, ninmathbb)

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых уравнение [f(x)=|a+2|sqrt[3]x] имеет 4 решения, где (f) – четная периодическая с периодом (T=dfrac<16>3) функция, определенная на всей числовой прямой, причем (f(x)=ax^2) при (0leqslant xleqslant dfrac83.)

(Задача от подписчиков)

Так как (f(x)) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при (-dfrac83leqslant xleqslant 0) (f(x)=ax^2) . Таким образом, при (-dfrac83leqslant xleqslant dfrac83) , а это отрезок длиной (dfrac<16>3) , функция (f(x)=ax^2) .

1) Пусть (a>0) . Тогда график функции (f(x)) будет выглядеть следующим образом:

Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график (g(x)=|a+2|cdot sqrt[3]x) проходил через точку (A) :

Следовательно, [dfrac<64>9a=|a+2|cdot sqrt[3]8 quadLeftrightarrowquad left[beginbegin &9(a+2)=32a\ &9(a+2)=-32a end endright. quadLeftrightarrowquad left[beginbegin &a=dfrac<18><23>\[2ex] &a=-dfrac<18> <41>end endright.] Так как (a>0) , то подходит (a=dfrac<18><23>) .

2) Пусть (a . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Нужно, чтобы график (g(x)) прошел через точку (B) : [dfrac<64>9a=|a+2|cdot sqrt[3] <-8>quadLeftrightarrowquad left[beginbegin &a=dfrac<18><23>\[2ex] &a=-dfrac<18> <41>end endright.] Так как (a , то подходит (a=-dfrac<18><41>) .

3) Случай, когда (a=0) , не подходит, так как тогда (f(x)=0) при всех (x) , (g(x)=2sqrt[3]x) и уравнение будет иметь только 1 корень.

Найдите все значения (a) , при каждом из которых уравнение [a^2-7a+7sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|]

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково – ВКонтакте

Решение будет опубликовано 11.01.2020 в 09:00

Найдите все значения параметра (a) , при каждом из которых уравнение [2^+(a-10)cdot (sqrt2)^+12-a=0]

имеет шесть различных решений.

Сделаем замену ((sqrt2)^=t) , (t>0) . Тогда уравнение примет вид [t^2+(a-10)t+12-a=0quad (*)] Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение ((*)) может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0) может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение ((*)) имеет два различных решения (положительных!, так как (t) должно быть больше нуля) (t_1) и (t_2) , то, сделав обратную замену, мы получим: [left[beginbegin &(sqrt2)^=t_1\[2ex] &(sqrt2)^=t_2endendright.] Так как любое положительное число можно представить как (sqrt2) в какой-то степени, например, (t_1=(sqrt2)^ t_1>) , то первое уравнение совокупности перепишется в виде [x^3-3x^2+4=log_ t_1] Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение ((*)) должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение ((*)) будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение ((*)) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: [D=a^2-16a+52>0quadLeftrightarrowquad ain (-infty;8-2sqrt3)cup(8+2sqrt3;+infty)]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как (t>0) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: [begin 12-a>0\-(a-10)>0endquadLeftrightarrowquad a

Таким образом, мы уже обеспечили себе два различных положительных корня (t_1) и (t_2) .

3) Давайте посмотрим на такое уравнение [x^3-3x^2+4=log_ t] При каких (t) оно будет иметь три различных решения?
Рассмотрим функцию (f(x)=x^3-3x^2+4) .
Можно разложить на множители: [x^3-3x^2+4=x^3+x^2-4x^2+4=x^2(x+1)-4(x+1)(x-1)=(x+1)(x-2)^2] Следовательно, ее нули: (x=-1;2) .
Если найти производную (f'(x)=3x^2-6x) , то мы получим две точки экстремума (x_=0, x_=2) .
Следовательно, график выглядит так:

Мы видим, что любая горизонтальная прямая (y=k) , где (0 , пересекает график в трех точках. При всех остальных значениях (k) будет меньше трех точек пересечения. Следовательно, для того, чтобы уравнение (x^3-3x^2+4=log_ t) имело три различных решения, нужно, чтобы (0 .
Таким образом, нужно: [begin 0 Давайте также сразу заметим, что если числа (t_1) и (t_2) различны, то и числа (log_t_1) и (log_t_2) будут различны, значит, и уравнения (x^3-3x^2+4=log_ t_1) и (x^3-3x^2+4=log_ t_2) будут иметь несовпадающие между собой корни.
Систему ((**)) можно переписать так: [begin 1

Таким образом, мы определили, что оба корня уравнения ((*)) должны лежать в интервале ((1;4)) . Как записать это условие?
В явном виде выписывать корни мы не будем.
Рассмотрим функцию (g(t)=t^2+(a-10)t+12-a) . Ее график – парабола с ветвями вверх, которая имеет две точки пересечения с осью абсцисс (это условие мы записали в пункте 1)). Как должен выглядеть ее график, чтобы точки пересечения с осью абсцисс были в интервале ((1;4)) ? Так:

Во-первых, значения (g(1)) и (g(4)) функции в точках (1) и (4) должны быть положительными, во-вторых, вершина параболы (t_0) должна также находиться в интервале ((1;4)) . Следовательно, можно записать систему: [begin 1+a-10+12-a>0\[1ex] 4^2+(a-10)cdot 4+12-a>0\[2ex] 1 (a) , найденные в 1-ом, 2-ом и 3-ем пунктах, и мы получим ответ: [begin ain (-infty;8-2sqrt3)cup(8+2sqrt3;+infty)\ a Ответ:

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector