Как решать арифметические прогрессии

Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

вычисляется по формуле:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних:

1. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.

а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?

б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?

В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.

По формуле n-ного члена арифметической прогрессии,

а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников.

Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц тысячи рублей.

б) Сколько всего заработает Василий за год? Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой тысяч рублей, а тысячи рублей.

По формуле суммы арифметической прогрессии, .

2. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей

Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?

По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой и .

По формуле суммы арифметической прогрессии,

3. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?

После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой

Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через n месяцев. Получим:

Так как n – целое, Осталось ответить на вопрос задачи.

Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой

Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два – до 57, а через семь – до 92.

Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.

Задачи ОГЭ на тему «Арифметическая прогрессия»

В пер­вом ряду ки­но­за­ла 30 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

Количество мест в рядах ки­но­за­ла об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. По фор­му­ле для на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

В нашей прогрессии

Правильный ответ: 1.

5. (Задача ОГЭ) Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −87 ; −76; −65; … Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

Найдем разность прогрессии:

По фор­му­ле для на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Мы хотим найти первый положительный член этой прогрессии. Это значит, что мы находим номер n, начиная с которого выполняется неравенство .

Отсюда

Значит, – первый положительный член прогрессии. Он равен:

Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:

1. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –7,2; –6,9; …

2. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; −9; x; −13; −15; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x .

Ответы к задачам:

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

1. Уравнения (задача 13)
2. Стереометрия (задача 14)
3. Неравенства (задача 15)
4. Геометрия (задача 16)
5. Финансовая математика (задача 17)
6. Параметры (задача 18)
7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных

Арифметическая прогрессия

Что нужно знать

• Простейшие алгебраические уравнения

Что вы узнаете

• Что такое арифметическая прогрессия и для чего она нужна
• Как найти любой член арифметической прогрессии
• Как найти разность арифметической прогрессии
• Чему равна сумма первых n n n членов арифметической прогрессии

В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.

Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.

Начнем с арифметической прогрессии.

Что такое арифметическая прогрессия?

Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией , или просто арифметической прогрессией .

Является ли следующая последовательность арифметической прогрессией: 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 2 2 2 , − 2 -2 − 2 , 3 3 3 , − 3 -3 − 3 ?

Как найти произвольный член прогрессии?

Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, a 2 = a 1 + d a_2=a_1+d a 2 ​ = a 1 ​ + d , a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d a_3=a_2+d=a_1+2d a 3 ​ = a 2 ​ + d = a 1 ​ + 2 d , a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d a_4=a_3+d=a_1+3d a 4 ​ = a 3 ​ + d = a 1 ​ + 3 d и т.д. k k k -й член мы можем найти по формуле:

Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:

Как найти разность арифметической прогрессии?

Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы a n = a k + ( n − k ) d a_n=a_k+(n-k)d a n ​ = a k ​ + ( n − k ) d следует такая формула:

А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):

Гермиона в первый день учебы в Хогвартсе выучила одно заклинание и каждый день выучивает на некоторое число заклинаний больше, чем в предыдущий день. На 8 8 8 -й день она выучила 1 5 15 1 5 заклинаний. На сколько заклинаний больше она выучивает каждый день?

Запомните следующее простое правило:
Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:

Сумма первых n n n членов арифметической прогрессии

Еще одна формула, которая часто бывает полезна:

Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.

Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:

Важным частным случаем формулы суммы арифметической прогрессии является формула суммы первых n n n натуральных чисел: 1 + 2 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 1+2+. +n=frac <2>1 + 2 + . . . + n = 2 n ( n + 1 ) ​ .

Карл Фридрих Гаусс, ставший впоследствии великим математиком, самостоятельно вывел эту формулу на уроке арифметики в школе. Желая занять детей на долгое время, учитель предложил им сосчитать сумму чисел от 1 1 1 до 1 0 0 100 1 0 0 . Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1 + 1 0 0 = 1 0 1 1+100=101 1 + 1 0 0 = 1 0 1 , 2 + 9 9 = 1 0 1 2+99=101 2 + 9 9 = 1 0 1 и т.д., и мгновенно получил результат 5 0 ⋅ 1 0 1 = 5 0 5 0 50cdot 101=5050 5 0 ⋅ 1 0 1 = 5 0 5 0 .

Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.

При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых n n n членов арифметической прогрессии:

Определите, сколько задач Петров решил в четвертый день, если вся подготовка заняла 16 дней.

Конечно, способность Петрова концентрироваться в решающий момент поражает! Хорошо еще, что количество задач, которые он решал, росло в арифметической , а не в геометрической прогрессии .

О геометрической прогрессии читайте в следующей статье.

Заключение

Приведем еще раз формулы, которые позволяют решить практически любую задачу на арифметические прогрессии:

Как найти арифметическую прогрессию? Арифметическая прогрессия примеры с решением

При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.

Что собой представляет арифметическая прогрессия?

Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.

Арифметическая или алгебраическая прогрессия — это такой набор упорядоченных рациональных чисел, каждый член которого отличается от предыдущего на некоторую постоянную величину. Эта величина называется разностью. То есть, зная любой член упорядоченного ряда чисел и разность, можно восстановить всю арифметическую прогрессию.

Приведем пример. Следующая последовательность чисел будет прогрессией арифметической: 4, 8, 12, 16, . поскольку разность в этом случае равна 4 (8 — 4 = 12 — 8 = 16 — 12). А вот набор чисел 3, 5, 8, 12, 17 уже нельзя отнести к рассматриваемому виду прогрессии, поскольку разность для него не является постоянной величиной (5 — 3 ≠ 8 — 5 ≠ 12 — 8 ≠ 17 — 12).

Важные формулы

Приведем теперь основные формулы, которые понадобятся для решения задач с использованием арифметической прогрессии. Обозначим символом a_n n-й член последовательности, где n — целое число. Разность обозначим латинской буквой d. Тогда справедливы следующие выражения:

1. Для определения значения n-го члена подойдет формула: a_n = (n-1)*d+a₁.
2. Для определения суммы первых n слагаемых: S_n = (a_n+a₁)*n/2.

Чтобы понять любые примеры арифметической прогрессии с решением в 9 классе, достаточно запомнить эти две формулы, поскольку на их использовании строятся любые задачи рассматриваемого типа. Также следует не забывать, что разность прогрессии определяется по формуле: d = a_n — a_n-1.

Далее, в статье приводятся различные примеры применения этих выражений.

Пример №1: нахождение неизвестного члена

Приведем простой пример прогрессии арифметической и формул, которые необходимо использовать для решения.

Пусть дана последовательность 10, 8, 6, 4, . необходимо в ней найти пять членов.

Из условия задачи уже следует, что первые 4 слагаемых известны. Пятое можно определить двумя способами:

1. Вычислим для начала разность. Имеем: d = 8 — 10 = -2. Аналогичным образом можно было взять любые два других члена, стоящих рядом друг с другом. Например, d = 4 — 6 = -2. Поскольку известно, что d = a_n — a_n-1, тогда d = a₅ — a₄, откуда получаем: a₅ = a₄ + d. Подставляем известные значения: a₅ = 4 + (-2) = 2.
2. Второй способ также требует знания разности рассматриваемой прогрессии, поэтому сначала нужно определить ее, как показано выше (d = -2). Зная, что первый член a₁ = 10, воспользуемся формулой для n числа последовательности. Имеем: a_n = (n — 1) * d + a₁ = (n — 1) * (-2) + 10 = 12 — 2*n. Подставляя в последнее выражение n = 5, получаем: a₅ = 12-2 * 5 = 2.

Как видно, оба способа решения привели к одному и тому же результату. Отметим, что в этом примере разность d прогрессии является отрицательной величиной. Такие последовательности называются убывающими, так как каждый следующий член меньше предыдущего.

Пример №2: разность прогрессии

Теперь усложним немного задачу, приведем пример, как найти разность прогрессии арифметической.

Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.

Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: a_n = (n — 1) * d + a₁. Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a₁ и a₇, имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 — 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.

Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a₁ = 6, a₂ = 6 + 2=8, a₃ = 8 + 2 = 10, a₄ = 10 + 2 = 12, a₅ = 12 + 2 = 14, a₆ = 14 + 2 = 16, a₇ = 18.

Пример №3: составление прогрессии

Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, — 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.

Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a₁ = -4 и a₅ = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей. Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a₅ = a₁ + 4 * d. Откуда: d = (a₅ — a₁)/4 = (5 — (-4)) / 4 = 2,25. Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.

Теперь добавим найденную разность к a₁ и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a₁ = — 4, a₂ = — 4 + 2,25 = — 1,75, a₃ = -1,75 + 2,25 = 0,5, a₄ = 0,5 + 2,25 = 2,75, a₅ = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.

Пример №4: первый член прогрессии

Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a₁₅ = 50 и a₄₃ = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.

Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a₁ и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a₁₅ = a₁ + 14 * d и a₄₃ = a₁ + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a₁ и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a₁, а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a₁ = a₁₅ — 14 * d = 50 — 14 * d; второе уравнение: a₁ = a₄₃ — 42 * d = 37 — 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 — 14 * d = 37 — 42 * d, откуда разность d = (37 — 50) / (42 — 14) = — 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).

Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a₁. Например, первым: a₁ = 50 — 14 * d = 50 — 14 * (- 0,464) = 56,496.

Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a₄₃ = a₁ + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.

Пример №5: сумма

Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.

Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, . Как рассчитать сумму 100 этих чисел?

Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter. Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1. Применяя формулу для суммы, получаем: S_n = n * (a₁ + a_n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопытно отметить, что эта задача носит название «гауссовой», поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий математик Гаусс, еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд. Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = . а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.

Пример №6: сумма членов от n до m

Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, . нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.

Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.

Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m — целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:

Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член a_m (в случае взятия разности он вычитается из суммы S_n), то получим необходимый ответ на задачу. Имеем: S_mn = S_n — S_m + a_m =n * (a₁ + a_n) / 2 — m *(a₁ + a_m)/2 + a_m = a₁ * (n — m) / 2 + a_n * n / 2 + a_m * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для a_n и a_m. Тогда получим: S_mn = a₁ * (n — m) / 2 + n * (a₁ + (n — 1) * d) / 2 + (a₁ + (m — 1) * d) * (1 — m / 2) = a₁ * (n — m + 1) + d * n * (n — 1) / 2 + d *(3 * m — m 2 — 2) / 2.

Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма S_mn зависит только от n, m, a₁ и d. В нашем случае a₁ = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: S_mn = 301.

Некоторые советы при решении задач с арифметической прогрессией

Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.

Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше. Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле S_mn = n * (a₁ + a_n) / 2 — m * (a₁ + a_m) / 2 + a_m, и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены a_n и a_m).

Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.

Решение задач по математике онлайн

kor.giorgio@gmail.com Выход

Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: a₁, d, n
Найти: a_n и первых n членов.

Эта математическая программа находит ( a_n ) и первых ( n ) членов арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел ( a_1, d ) и ( n ).
Числа ( a_1) и ( d ) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби ( ( 2,5 ) ) и в виде обыкновенной дроби ( ( -5frac<2> <7>) ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа ( a_1) и ( d ) можно задать не только целые, но и дробные.
Число ( n) может быть только целое положительное.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: ( -frac<2> <3>)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: ( -1frac<2> <3>)

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a₁, a₂, a₃, . a_N
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a_n.

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a₁, a₂, a₃, . a_n, . .
Число a₁ называют первым членом последовательности, число a₂ — вторым членом последовательности, число a₃ — третьим членом последовательности и т. д.
Число a_n называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, . n 2 , (n + 1) 2 , . а₁ = 1 — первый член последовательности; а_n = n 2 является n-м членом последовательности; a_n+1= (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой ( a_n=frac<1>, ; n in mathbb ) задана последовательность ( 1, ; frac<1> <2>, ; frac<1> <3>, ; frac<1> <4>, dots,frac<1> , dots )

Арифметическая прогрессия

Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно ( 365frac<1> <4>) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.

Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.

Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, . .

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями.

Определение.
Числовая последовательность a₁, a₂, a₃, . a_n, . называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство
( a_ = a_n+d, )
где d — некоторое число.

Из этой формулы следует, что a_n+1 — a_n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

По определению арифметической прогрессии имеем:
( a_=a_n+d, quad a_=a_n-d, )
откуда
( a_n= frac +a_> <2>), где ( n>1 )

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Отметим, что если a₁ и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле a_n+1 = a_n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например, для a₁₀₀ уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической прогрессии
( a_2=a_1+d, )
( a_3=a_2+d=a_1+2d, )
( a_4=a_3+d=a_1+3d )
и т.д.
Вообще,
( a_n=a_1+(n-1)d, )
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + . + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + . + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + . + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.

Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a₁, a₂, a₃, . a_n, .
Пусть S_n — сумма n первых членов этой прогрессии:
S_n = a₁, a₂, a₃, . a_n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
( S_n = n cdot frac <2>)

Так как ( a_n=a_1+(n-1)d ), то заменив в этой формуле a_n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии:
( S_n = n cdot frac<2a_1+(n-1)d> <2>)

Арифметическая прогрессия. Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.

А как бы считали вы?

Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.

Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

, где – разность арифметической прогрессии.

Сумма чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.

Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

1)

2) ,

где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу).

Примеры

Пример 1.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Для того, чтобы воспользоваться формулой , нам надо найти и :

Тогда

Пример 2.

Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Воспользуемся формулой :

Пример 3.

Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Шаг () равен 1;

Обращаемся к формуле :

Поскольку мы работаем с натуральными , то

Пример 4.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с 5-го (по 16), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии <> по формуле :

где

Пример 5.

Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.

Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных 4, то есть 12+16+…+96;

3) из суммы вычтем сумму ;

Итак,

Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?

Обозначим порядковый номер числа 96 в ряду 12, 16, … 96 за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ().

Найдем .

Тогда

Итак,