Как решать уравнения с параметрами - Flm-Krym.ru
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд (пока оценок нет)
Загрузка...

Как решать уравнения с параметрами

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. =

6. =

Ответы:

  1. При а1 х =;
  1. При а3 х = ;
  1. При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

  1. При а2, а0 х = ;
  1. При а-3, а-2, а0, 5 х =
  1. При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге4(а – 1)(а – 6) > 0
– 2(а + 1) 0
а 6
а > – 1
а > 5/9

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16

4а(а – 4)

а(а – 4))

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3аа 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + ха = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х 2 – хlog32 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х 2 – хlog3а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 32 – 4 > 0, или |log3а| > 2.

Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х – (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

  1. 0 25/2
  2. при а = 1, а = -2,2
  3. 0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –2у + 1 = 0
2у = 1
у = 1/2
х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а; 2), где а 2

а =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

  • Найдите, при каких значениях а уравнение log 2 (4 x – a) = x имеет единственный корень.
  • При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а – 9 х ) = 0 не имеет корней.
  • Ответы:

      при а 16.06.2009

    Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

    Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2020 года это №18. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

    Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

    Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

    Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

    Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

    Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

    А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

    Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

    1. Теперь пример из школьной математики.

    Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

    Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

    Дискриминант квадратного уравнения:

    Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

    Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

    Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

    Если при , уравнение имеет единственный корень.

    Если , то есть с > 1, корней нет.

    В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

    Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

    И еще две простые задачи с параметром.

    2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

    Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

    Найдем дискриминант уравнения

    Т.к. , получим:

    Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

    Найдем корни квадратного уравнения . Это и

    Разложим левую часть неравенства на множители:

    Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

    3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

    Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

    Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

    Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

    Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую

    Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

    Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

    Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    Решить задачу, например уравнение

    Задача состоит в том, чтобы для каждого значения параметра Пусть , тогда имеем простейшее линейное уравнение:

    В общем случае в данном уравнении возможны два варианта решения – когда можно делить на коэффициент а и когда нельзя, необходимо перебрать все допустимые значения параметра а ()

    Рассмотрим два случая. При мы не имеем права разделить единицу на коэффициент а, поэтому подставляем значение ноль в заданное уравнение и изучаем его. При любых других значениях а имеем право выполнить деление:

    Ответ: при

    Если а – конкретное число, мы можем легко решить заданное неравенство, например:

    у нас же есть коэффициент а в общем виде. Рассмотрим три случая:

    Ответ: при

    Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

    Значение параметра может быть любым. Рассмотрим два случая:

    При этом получаем в первом случае: х с одной стороны равен пяти, т. к. Когда , противоречий не возникает

    Ответ: при

    Значение а может быть любым, но квадратный корень – это строго неотрицательное число. Следовательно, рассматриваем два случая:

    Ответ: при

    Исследуем данное неравенство.

    х стоит под знаком квадратного корня, значит допустимые значения по х – все неотрицательные значения. а может принимать любые значения. рассмотрим три случая. Если

    Ответ: при Рассмотрим решение данного неравенства графическим методом. Для этого сначала строим график функции, стоящей в левой части:

    По рисунку очевидно, что когда , кривая находится над прямой при всех допустимых х, то есть при всех допустимых х неравенство выполняется.

    Если а положительно, кривая имеет единственную точку пересечения с прямой и кривая находится выше прямой правее точки пересечения, абсцисса точки пересечения

    Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует.

    Рассматриваем два варианта – либо

    Ответ: при а) ;

    б) ;

    в) ;

    г) ;

    3. Решить неравенство с параметром:

    а) ;

    б) ;

    в) ;

    г) ;

    Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

    Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2020 года это №18. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

    Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

    Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

    Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

    Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

    Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

    А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

    Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

    1. Теперь пример из школьной математики.

    Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

    Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

    Дискриминант квадратного уравнения:

    Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

    Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

    Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

    Если при , уравнение имеет единственный корень.

    Если , то есть с > 1, корней нет.

    В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

    Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

    И еще две простые задачи с параметром.

    2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

    Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

    Найдем дискриминант уравнения

    Т.к. , получим:

    Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

    Найдем корни квадратного уравнения . Это и

    Разложим левую часть неравенства на множители:

    Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

    3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

    Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

    Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

    Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

    Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую

    Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

    Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

    Основы решения уравнений с параметром

    F(х, у, . z; α,β. γ) = 0 (F) с неизвестными х, у, . z и с параметрами α,β, . γ; при всякой допустимой системе значений параметров α, . γ уравнение (F) обращается в уравнение (х, у, . z; α, . γ) =0 (F) с неизвестными х, у. z, не содержащее параметров.

    Уравнение (F) имеет некоторое вполне определенное множество (быть может, пустое) решений. Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащиt параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

    Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).

    Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащие параметры, устанавливается следующим образом:

    Определение. Два уравнения:

    F(х, у, . z; α,β, . γ) =0 (F)

    Ф (х, у, . z; α,β, . γ) =0 (Ф)

    с неизвестным х, у. z и с параметрами α,β, . γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

    Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

    Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

    Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравненииF(x, у,z; α,β, . γ)=0 (F)задано в виде некоторой функции от параметров:

    х = х(α,β, . γ);
    у = у(α,β, . γ);….
    z=z (α,β, . γ). (Х)

    Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у. z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

    F (x(α,β, . γ), y(α,β, . γ),…,z (α,β, . γ) ≡ 0.При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α,β=β, . γ=γ, соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения:

    ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

    Для решения иррациональных уравнений с параметром существует несколько способов. А теперь, давайте разберем некоторые примеры иррациональных уравнений, содержащих параметр:

    Перепишем уравнение в следующем виде:

    x – 1 – + 1 – a = 0

    Рассмотрим его как квадратное относительно . Находим дискриминант уравнения:

    Уравнение (1) имеет решение только в том случае, если a≥ .

    Имеем:

    Заметим, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда 1 – ≥ 0, то есть при a ≤ 1. Решив уравнения (2) и (3), получим при ≤ a ≤ 1:

    ,

    Таким образом, приходим к следующему:
    при ≤ a ≤ 1 уравнение имеет два корня: ;

    при а , уравнение имеет один корень: ;

    Дата добавления: 2018-06-27 ; просмотров: 348 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

    Читайте также:  В каких случаях бывает озноб без температуры
    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector